Cálculo Mental Rápido

CALCULO RÁPIDO
(Procedimientos fáciles de cálculo mental)

Aquí se han recogido algunos procedimientos de cálculo mental rápido, simples y fáciles de aprender. Losque utilicen estos procedimientos deben recordar que su dominio eficaz presupone no su aplicación mecánica, sino completamente consciente y, además, un entrenamiento más o menos prolongado. Pero una vez aprendidos los procedimientos que recomendamos, pueden hacerse cálculos mentales rápidos con la misma seguridad que si se escribieran.

1. Multiplicación por un número dígito.

Para multiplicar mentalmente un número por un factor dígito (por ejemplo, 27 * 8), se opera empezando por multiplicar no las unidades, como en el cálculo escrito, sino las decenas del multiplicando (20 * 8 = 160), después se multiplican las unidades (7 * 8 = 56) y luego se suman ambos resultados (160 + 56 = 216).

Conviene saber de memoria la tabla de multiplicar hasta 19 * 9.

Sabiendo esta tabla se puede multiplicar mentalmente, por ejemplo, 147 * 8, así:

147 * 8 = 140 * 8 + 7 * 8 = 1120 + 56 = 1176.

34 * 7 = 30 * 7 + 4 * 7 = 210 + 28 = 238.

47 * 6 = 40 * 6 + 7* 6 = 240 + 42 = 282.

Cuando uno de los números que se multiplica puede descomponerse en factores primos, resulta cómodo multiplicar sucesivamente por estos factores. Por ejemplo:

1.2); 225 * 6 = 225 * 2 * 3 = 450 * 3 = 1350.

1	2	3	4	5	6	7	8	9
11	22	33	44	55	66	77	88	99
12	24	36	48	60	72	84	96	108
13	26	39	52	65	78	91	104	117
14	28	42	56	70	84	98	112	126
15	30	45	60	75	90	105	120	135
16	32	48	64	80	96	112	128	144
17	34	51	68	85	102	119	136	153
18	36	54	72	90	108	126	144	162
19	38	57	76	95	114	133	152	171

1	11	12	13	14	15	16	17	18	19
11	121	132	143	154	165	176	187	198	209
12	132	144	156	168	180	192	204	216	228
13	143	156	169	182	195	208	221	234	247
14	154	168	182	196	210	224	238	252	266
15	165	180	195	210	225	240	255	270	285
16	176	192	208	224	240	256	272	288	304
17	187	204	221	238	255	272	289	306	323
18	198	216	234	252	270	288	306	324	342
19	209	228	247	266	285	304	323	342	361

2. Multiplicación por un número de dos cifras.

La multiplicación por un número de dos cifras se procura simplificar para el cálculo mental reduciéndola a una multiplicación más habitual por un número dígito. Cuando el multiplicando es dígito, se considera mentalmente que es multiplicador y las operaciones se hacen como se dijo en el § 1. Por ejemplo:

6 * 28 = 28 * 6 = 20 * 6 + 8 * 6 = 120 + 48 = 168.

Si los dos factores tienen dos cifras, uno de ellos se descompone en decenas y unidades. Por ejemplo:

29 * 12 = 29 * 10 + 29 * 2 = 290 + 58 = 348.

41 * 16 = 41 * 10 + 41 * 6 = 410 + 246 = 656. (ó 16 * 41 = 16 * 40 + 16 = 640 + 16 = 656)

Resulta más conveniente descomponer en decenas y unidades el factor en que éstas vienen expresadas con números menores.

Si el multiplicando o el multiplicador puede descomponerse mentalmente y con facilidad en números dígitos (por ejemplo, 14 = 2 * 7), se aprovecha esta circunstancia para disminuir uno de los factores, aumentando el otro las mismas veces (compárese con el § 3). Por ejemplo:

45 * 14 = (45 * 2) * (14 / 2) = 90 * 7 = 630.

3. Multiplicación y división por 4 y por 8.

Para multiplicar, mentalmente, un número por 4, se duplica dos veces. Por ejemplo:

112 * 4 = 224 * 2 = 448.

335 * 4 = 670 * 2 = 1340.

Para multiplicar, mentalmente, un número por 8, se duplica tres veces. Por ejemplo:

217 * 8 = 434 * 4 = 868 * 2 =1736.

Otro procedimiento de multiplicar mentalmente por 8 consiste en añadirle un cero al multiplicando y réstale el duplo de dicho multiplicando (es decir, en definitiva se multiplica por 10 - 2:

217 * 8 = 2170 - 434 = 1736.

Resulta aún más cómodo proceder así:

217 * 8 = 200 * 8 + 17 * 8 = 1600 + 136 = 1736.

Para dividir un número por 4 mentalmente, se divide dos veces por dos. Por ejemplo:

76 / 4 = 38 / 2 = 19.

236 / 4 = 118 / 2 = 59.

20/4 y 36/4 => esto es 5 y 9 = 59.

Para dividir un número por 8 mentalmente, se divide tres veces por dos. Por ejemplo:

464 / 8 = 232 / 4 =116 / 2 = 58.

516 / 8 = 258 / 4 = 129 / 2 = 64’5.

51 / 8 = 6 y 36/8 = 4 y 4/8 = ½ = 0,5 esto es 64,5.

4. Multiplicación por 5 y por 25.

Para multiplicar, mentalmente, un número por 5, se multiplica por 10 es decir, se le añade al número un cero y se divide por dos. Por ejemplo:

74 * 5 = 740 / 2 = 370.

243 * 5 = 2430 / 2 = 1215.

Cuando el número que se multiplica por 5 es par, resulta más cómodo dividir primeramente por 2 y añadir después un cero a la cantidad obtenida. Por ejemplo:

74 * 5 = 74/2 * 10 = 370.

Para multiplicar un número por 25 mentalmente, se multiplica por 100/4, es decir, si el número es múltiplo de cuatro, se divide por 4 y al cociente se le añaden dos ceros. Por ejemplo:

72 * 25 = 72/4 * 100 = 1800.
Si al dividir el número por 4 queda resto,
cuando el resto es:	1	se le añade al cociente:	25
“	2	“	50
“	3	“	75

La base, en que funda este procedimiento queda aclarada por el hecho de que 100 / 4 = 25; 200 / 4 = 50; y 300 / 4 = 75.

5. Multiplicación por 1 ½, por 1 ¼, por 2 ½ y por ¾.

Para multiplicar, mentalmente, un número por 1 ½, se le añade al multiplicando su mitad. Por ejemplo:

34 * 1 ½ = 34 + 17 = 51.

22 * 1 ½ = 22 + 11 = 33.

23 * 1 ½ = 23 + 11 ½ = 34 ½ (34’5).

Para multiplicar, mentalmente, un número por 1 ¼, se le añade al multiplicando su cuarta parte. Por ejemplo:

48 * 1 ¼ = 48 + 12 = 60.

58 * 1 ¼ = 58 + 14 ½ = 72 ½ (72’5).

Para multiplicar un número por 2 ½ mentalmente, al número duplicado se la añade la mitad del multiplicando. Por ejemplo:

18 * 2 ½ = 36 + 9 = 45.

39 * 2 ½ = 78 + 19 ½ = 97 ½ (97’5). Otro procedimiento consiste en multiplicar por 5 y dividir por dos: 18 * 2 ½ = 90 : 2 = 45.

Para multiplicar un número por ¾ mentalmente (es decir, para hallar las ¾ partes de dicho número), se multiplica por 1 ½ y se divide por dos. Por ejemplo:

30 * ¾ = 30 * 1 ½ / 2 = 45 / 2 = 22’5.

30( *¼+¼) = 30/2 + 30/4 = 15 + 15/2 = 22,5.

Una variante de este procedimiento consiste en que al multiplicando se le resta su cuarta parte o a la mitad del multiplicando se le añade la mitad de esta mitad.

6. Multiplicación por 15, por 125, por 75.

La multiplicación por 15, se sustituye por la multiplicación por 10 y por 1 ½ (porque 10 * 1 ½ = 15). Por ejemplo:

18 * 15 = 18 * 1 ½ * 10 = 27 * 10 = 270.

54 * 15 = 54 * 1 ½ * 10 = 810.

La multiplicación por 125 se sustituye por la multiplicación por 100 y por 1 ¼ (porque 100 * 1 ¼ = 125). Por ejemplo:

26 * 125 = 26 * 1 ¼ * 100 = (26 + 6,5)100 = 3250.

47 * 125 = 47 * 100 * 1 ¼ = 4700 + 4700/4 = 4700 + 1175 = 5875.

= (47 + 11,75) * 100; => 58,75 * 100 = 5875.

La multiplicación por 75 se sustituye por una multiplicación por 100 y por ¾ (porque 100 * ¾ = 75). Por ejemplo:

18 * 75 = 18 * 100 * ¾ = 1800 * ¾ = 1800 * 1 ½ / 2 = (1800 + 900)/2 = 1350.

= [(3*18/2)/2]* 100 = [(54/2)/2]* 100 = (27/2) * 100 = 13,5 * 100 = 1350.

Observación: Algunos de los ejemplos citados también pueden resolverse fácilmente por el Procedimiento 1.2.

18 * 15 = 18 * 5 * 3 = 90 * 3 = 270.

26 * 125 = 26 * 5 * 5 * 5 = 130 * 5 * 5 = 650 * 5 = 3250.

7. Multiplicación por 9 y por 11.

Para multiplicar mentalmente un número por 9, se le añade al número un cero y se le resta el multiplicando. Por ejemplo:

62 * 9 = 620 - 62 = 600 - 42 = 558.

73 * 9 = 730 - 73 = 700 - 43 = 657.

Para multiplicar un número por 11 mentalmente, se le añade al número un cero y se le suma el multiplicando. Por ejemplo:

87 * 11 = 870 + 87 = 957.

Otra forma:

53 x 11 = 5(5+3)3 = 583

87 x 11 = 8(8+7)7 = 8+1(5)7 = 957

Cuando la suma de los dos numeros da mayor que 9 se llava una unidad.

8. División por 5, por 1 ½ y por 15.

Para dividir mentalmente, un número por 5, se separa con una coma la última cifra del duplo del número. Por ejemplo:

68 / 5 = 136 /10 = 13’6.

237 / 5 = 474 / 10 = 47’4.

Para dividir un número por 1 1/2 mentalmente, se divide por 3 el duplo del número. Por ejemplo:

36 / 1 ½ = 72 / 3 = 24.

53 / 1 ½ =106 / 3 = 35 1/3.

Para dividir un número por 15 mentalmente, se divide por 30 el duplo de dicho número. Por ejemplo:

240 / 15 = 480 / 30 = 48 / 3 =16.

462 / 15 = 924 / 30 = (924/6) / (30/6) = 154/5 = 30’8.

= (924 / 30 = 308 / 10 = 30’8).

9. Elevación al cuadrado.

Para elevar al cuadrado un número terminado en 5 (por ejemplo, 85) se multiplica el número de decenas (8) por sí mismo más una unidad (8 * 9 = 72) y se le añade 25 (en nuestro ejemplo se obtiene 7225). Otros ejemplos:

25*25 => 2 * 3 = 6; =625.

45*45 => 4 * 5 = 20; =2025.

145*145=> 14 * 15 = 210; =21025.

Este procedimiento se deduce de la fórmula

(10 x + 5 )² = 100 x² + 100 x + 25 = 100 x ( x + 1) + 25.

El procedimiento que hemos indicado puede aplicarse también a las fracciones decimales que terminan en la cifra 5:

8,5² = 72,25

14,5² = 210,25

0,35² = 0,1225 etc.

Como 0,5 = ½ y 0,25 = ¼, el método de este procedimiento puede utilizarse también para elevar al cuadrado los números que terminan en la fracción ½ :

( 8 ½)² = 72 ¼

(14 ½)² = 210 ¼, etc,

Cuando la elevación al cuadrado se hace mentalmente, suele ser cómodo utilizar la fórmula:

(a ± b)² =a² +b² ± 2 ab. Por ejemplo:

41² = 40² + 1 + 2 * 40 = 1601 + 80 = 1681.

69² = 70² + 1 - 2 * 70 = 4901 - 140 = 4761.

36² = (35 + 1 )2 = 1225 + 1 + 2 * 35 = 1296.

Este procedimiento resulta cómodo cuando los números terminan en 1, 4, 6 y 9.

10. Cálculos por la fórmula (a + b)(a - b) = a² - b²

Supongamos que hay que hacer mentalmente la multiplicación 52 * 48. Nos figuramos estos factores en la forma (50 + 2) * (50 - 2) y aplicamos la fórmula que figura en el encabezamiento:

(50 + 2) * (50 - 2) = 50² - 2² = 2496.

De un modo semejante se procede en general en todos los casos en que uno de los factores resulta cómodo representarlo en forma de suma de dos números, y el otro, en forma de diferencia de estos mismos números.

69 * 71 = (70 - 1) * (70 + 1) = 4899.

33 * 27 = (30 + 3) * (30 - 3) = 891.

53 * 57 = (55 - 2) * (55 + 2) = 3021.

84 * 86 = (85 - 1) * (85 + 1) = 7224.

Este mismo procedimiento puede utilizarse también eficazmente para los cálculos del tipo siguiente:

7 ½ * 6 ½ = (7 + ½) * ( 7 - ½) = 48 ¾

11 ¾ * 12 ¼ = (12 - ¼) * (12 + ¼) = 143 15/16.

Conviene recordar que 37 * 3 = 111. Recordando esto es fácil multiplicar mentalmente el número 37 por 6, 9, 12, etc.

37 * 6 = 37 x 3 * 2 = 222.

37 * 9 = 37 * 3 * 3 = 333.

37 * 12 = 37 * 3 * 4 = 444.

Problemas y Experimentos Recreativos Yakov Perelman

37 * 15 = 37 * 3 * 5 = 555, etc,

Conviene recordar que 7 * 11 * 13 = 1001. Recordando esto es fácil practicar mentalmente multiplicaciones del tipo

77 * 13 = 1001	91 * 11 = 1001	143 * 7 = 1001
77 * 26 = 2002	91 * 22 = 2002	143 * 14 = 2002
77 * 39 = 3003	91 * 33 = 3003	143 * 21 = 3003
77x13n = 1001n	91x11n = 1001n	143x7n = 1001n

Aquí sólo se ha hecho mención de los procedimientos mentales más fáciles y de uso más frecuente de multiplicación, división y elevación al cuadrado. Al practicarlos, el lector reflexivo ideará para sí toda una serie de otros procedimientos que facilitan el trabajo de cálculo.

11. alternativo al 2. Multiplicación por un número de dos cifras.

Veamos como obtenemos:

17 x 15 =; => 10(17+5) =220 = 10(15 + 7); => 220 + (5x7) = 255.

Con la practica sera mucho mas facil ya que a la final uno no multiplica por 10 si no que solamente suma el 3 del 35 = (7x5) al segundo 2 del 22 = (17+5) = (15+7) para que le de 25 y sabemos que la solucion termina en 5 asi sera 255.

24 x 27 sera; 7 x4 = 28; asi que termina en 8

20(24+7) = 620 = 20(27+4); => 620 + (7x4) = 648.

Lo podemos resumir asi; se le suman las unidades de uno a el otro numero y el resultado se duplica y a la unidad del resultado se le suma la decena del producto de las unidades. Y como ya sabemos en que unidad termina se la colocamos.

En el ejemplo anterior al 62 le sumanos el 2 del 28 y nos da 64 ahora solo le ponemos el 8 para que sea 648.

17 x 24 =>; 7 x 4 = 28; asi que termina en 8

10((24+7)+7) = 10((17+4)+17) = 380; =>; 380 + 28 = 408

15 x 27 =>; 7 x 5 = 35; asi que termina en 5

10(27+5+5) = 10((15 + 7)+15) = 370; =>; 370 + 35 = 405

Como ven es mejor usar el numero mayor ya que a esta se le suman las unidades del otro dos veces y listo tenemos el gordo para terminar igual que con los anteriores.

34 x 36 = >; 6 x 4 = 24; asi que termina en 4

30(34+6) = 1200 = 30(36+4); =>; 1200 + (6x4) = 1224

37 x 12 = >; 7 x 2 = 14; asi que termina en 4

10(37+2+2+2) = 430 = 10((12+7)+12+12); =.; 430+14=444 = [1(37) + (3x2) = 43] y 14 asi sera 444. (el 3 y el 1 se suman).

Formula general:

ab x cd =10c(ab + d) + 10d(a - c) = pkw ideal a > c; o ab > cd

c*(ab + d) + d*(a – c),,,,,b*d

Opcional c*ab + a*d ,,,,,,,,b*d

= b x d = qv; producto de la unidades donde; ab > cd

así sera ab*cd = pk(w+q)v.

73 x 23 sera; 2*(73 + 3) = 152 + [(7-2)*3 = 15] = 167 y ahora las unidades

3 x 3 = 9 => 167 y 9 serán 1679

Como ven la formula es de utilidad cuando c = 1, o tambien cuando a=c osea la decena es identica.

Caso i) c=1

ab x 1d =>; d x b = qv;

1(ab) + (ad) = pkw y qv así será pk(w+q)v.

Ejemplo:

45 x 13 = >; 3 x 5 = 15 termina en 5;

45 + 4x3 = 57 y 15 así será 5(7+1)5 = 585 !!.

174 x 16 = >; 6 x 4 = 24;

174 + 6x17 = 276 y 24 así será 27(6+2)4 = 2784.

= 180 + 6*16 = 276 etc.

174 X 96 9*(174 + 6) + (17 – 9)*6 y 6*4 = 24

1620 + 48 = 1668 y 24 = >; 2 + 8 = 10 = >; =16704

Caso ii) a = c

ab x ad = >; d x b = qv;

a(ab) + (ad) = pkw y qv así será pk(w+q)v

a(ab + d) = pkw y qv así será pk(w+q)v

24 x 27 = >; 7 x4 = 28;

= 2(24+7) = 62 y 28 6(2+2)8 = 648.

34 x 36 = >; 6 x 4 = 24;

= 3(34+6) = 120 y 24 así será 12(0+2)4 = 1224

12. suma numeros seguidos por la fórmula n(n +1)/2

Sumar los numeros del 1 al 20

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=10x10+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)= 155

Entonces n = 20 y n+1 =21 y 20/2 = 10 asi 10 x 21 = 210 = (55+155)!

13. series exponeenciales

2ⁿ = > 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192,… …N……

3ⁿ = > 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 59049,………… N………..

4ⁿ = > 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384, 65536, ………………N………………..

5ⁿ = > 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, 78125, 390625, ……….N…………………….

6ⁿ = > 6, 36, 216, 1296, 7776, 46656, 279936, …………N………………………..

7ⁿ = > 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649, ……………N……………………………..

8ⁿ = > 8, 64, 512, 4096, 32768, 262144, ……….N

9ⁿ = > 9, 81, 729, 6561, 59049, .....................N

14. numeros primos (divisibles por 1 y por el mismo)

1 – 2 -3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-67-71-73-79-83-89-

97-101-103-107-109-113-127-131-137-139-149-151-157-163-167-173-179-181-191-

193-197-199-211-223-227-229-233-239-241-251-257-263-269-271-277-281-283-

293-307-311-313-317-331-337-347-349-353-359-367-373-379-383-389-397-401-

409-419-421-431-433-439-443-449-457-461-463-467-479-487-491-499-503-509-

521-523-541-547-557-563-569-571-577-587-593-599-601-607-613-617-619-631-

641-643-647-653-659-661-673-677-683-691-701-709-719-727-733-739-743-751-

757-761-769-773-787-797-809-811-821-823-827-829-839-853-857-859-863-877-

881-883-887-907-911-919-929-937-941-947-953-967-971-977-983-991-997-1009-

Aquí encontrra los numeros primos hasta 2x10⁶

http://pinux.info/primos/PRIMERS.TXT

15. comprobar el produto

728 = 7+2+8 = 17= 1+7 = 8 x 8

x 17 = 1+7 = 8 8

12376 = 1+2+3+7+6= 19= 10= 1+0 = 1 = 64= 10 = 1+0= 1

Lo mismo se cumple para la suma y para la división;

1345 =1+3+4+5 = 13 = 1+3=4

9765 = 9+7+6+5= 27= 2+7=9

11110 = 4 13= 1+3= 4

REVISADO POR

WILLIAM HOYOS HINCAPIE

Profesional en Matemáticas & Física

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